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事象
Lambda（private subnet配置）からDynamoDBにPutItemを行なった際に、CloudWatch Logにエラーが出力されず、DynamoDBにも登録されない。
原因
Lambdaが配置されている private subnet のルートテーブルがnat gateway もしくは nat インスタンスに正しくルーティング出来ていない可能性があります。
ルーティング出来ていない場合は、LambdaからDynamoDBへのhttpリクエストが送ることが出来ません。
解決方法
Lambdaからインターネットへの外向き通信が可能になるように、ルートテーブルを編集しnat gateway もしくは natインスタンスにルーティングするようにします。
動作確認は、AWSのNATゲートウェイのテストの手順で確認が出来ます。